RSM/DoE/Fractional Factorial Design (FFD) 부분 요인 실험

목차

 

개요

이번 포스트에서는 RSM방법론 중 1번째 프로세스인 DoE의 방법론중 FFD(부분 요인 설계)에 대해 알아본다.

 

 

 

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기본 개념

DoE의 일종으로, 모든 가능한 요인 조합을 실험하지 않고 일부만 선택하여 실험하는 기법

 

이 방법은 고차원 문제에서 시간과 비용을 절약할 수 있으며, 주요한 효과와 상호 작용을 식별하는 데 사용된다.

 

FFD의 기본 개념은 k개의 요인을 조사할 때, 각 요인이 l개의 수준을 가지고 있다고 가정한다.

 

 이 때, 모든 요인의 조합을 실험하려면 l^k 번의 실험을 수행해야 하지만, FFD를 사용하면 적은 수의 실험만으로도 요인들의 영향을 추정할 수 있다.

 

주요 개념은 generator, defining relation, resolution 등이 있다.

 

• Generator
  실험의 구조를 정의하는 기호로, 다른 요인들의 상호 작용을 통해 새로운 요인을 생성
• Defining relation
  generator를 사용하여 구성된 관계식으로, FFD의 구조를 결정
• Resolution
  FFD의 해상도로, 설계에서 구분할 수 있는 최소한의 상호 작용 차수

 

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간단 예시

예를 들어, 세 요인 A, B, C가 있고 각 요인은 두 개의 수준(-1, 1)을 가진 경우

 

2^3 = 8번의 실험을 수행해야 하지만 1/2 FFD를 사용하면 4번의 실험으로 주요 효과를 추정할 수 있다.

 

Generator를 선택( C = AB )

Defining relation을 구성( I = ABC ) (I는 정체성 요소로, 모든 수준이 1인 경우를 의미)

실험 설계를 구성
A = -1, B= -1, C = AB = 1
A = -1, B = 1, C = AB = -1
A = 1, B = -1, C = AB = -1
A = 1, B = 1, C = AB = 1

이렇게 4번의 실험으로 각 요인의 영향을 추정

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2factors 3levels quadratic의 경우

 

이차 모델(quadratic model)은 입력 변수들 간의 선형 관계뿐만 아니라 제곱항과 이차 상호작용 항을 포함한다.

 

 이차 모델의 일반적인 형태

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β11x1^2 + β22x2^2 + β12x1x2

2개의 요인 A와 B가 있고 각 요인이 3개의 수준을 가지는 경우를 고려 (2factors, 3levels)

 

 

이 경우, 선형 모델은 다음과 같이 표현할 수 있다.

y = β0 + β1A + β2B

이차 모델은 다음과 같이 표현할 수 있다.

y = β0 + β1A + β2B + β11A^2 + β22B^2 + β12AB

이차 모델에서는 총 6개의 계수(β0, β1, β2, β11, β22, β12)가 있다.

 

2개의 요인과 3개의 수준을 가지는 경우, 총 9개의 실험 조건이 있다.

요인 A와 B가 각각 -1, 0, 1의 수준을 가진다고 가정하면, 실험 조건은 다음과 같다.

A = -1, B = -1
A = -1, B = 0
A = -1, B = 1
A = 0, B = -1
A = 0, B = 0
A = 0, B = 1
A = 1, B = -1
A = 1, B = 0
A = 1, B = 1

 

당연하게도 9개의 결과값 리스트와 6개의 미지수이므로 충분히 미지수 6개를 구할 수 있다.

이렇게 9개의 실험 조건을 사용하여 이차 모델의 6개 계수를 추정할 수 있다.

 

 

 

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마무리

FFD를 사용할 때 높은 해상도의 설계를 선택하면 상호 작용의 영향을 더 잘 분리할 수 있지만 실험의 수가 증가한다. 

반면, 해상도가 낮은 설계는 더 적은 실험으로 주요 효과를 추정할 수 있지만, 일부 상호 작용의 영향이 겹쳐 추정이 어려울 수 있다.

 

 따라서 상호 작용이 중요한 경우 전체 요인 실험이나 다른 DoE 기법을 사용하는 것이 더 적합할 수 있다.